• [1]

    B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016)

  • [2]

    B. P. Abbott et al. (LIGO Scientific Collaboration and Virgo Collaboration), Phys. Rev. Lett. 116, 241102 (2016)

  • [3]

    K. Akiyama et al. (The Event Horizon Telescope Collaboration), Astrophys. J. Lett. 875, L1 (2019)

  • [4]

    K. Akiyama et al. (The Event Horizon Telescope Collaboration), Astrophys. J. Lett. 930, L12 (2022)

  • [5]

    S. Chen, J. Jing, W. L. Qian et al., Sci. China Phys. Mech. Astron. 66, 260401 (2023)

  • [6]

    J. L. Synge, Mod. Not. R. Astron. Soc. 131, 463 (1966)

  • [7]

    J. M. Bardeen, Black Holes, edited by C. Dewitt, B. S. Dewitt (New York, Gordon and Breach, 1973), p. 215

  • [8]

    N. Tsukamoto, Z. Li, and C. Bambi, JCAP 06, 043 (2014)

  • [9]

    N. Tsukamoto, Phys. Rev. D 97, 064021 (2018)

  • [10]

    R. Shaikh, Phys. Rev. D 100, 024028 (2019)

  • [11]

    S. W. Wei, Y. C. Zou, Y. X. Liu et al., JCAP 08, 030 (2019)

  • [12]

    C. Bambi, K. Freese, S. Vagnozzi et al., Phys. Rev. D 100, 044057 (2019)

  • [13]

    S. Vagnozzi, L. Visinelli, Phys. Rev. D 100, 024020 (2019)

  • [14]

    A. Allahyari, M. Khodadi, S. Vagnozzi et al., JCAP 02, 003 (2020)

  • [15]

    M. Khodadi, A. Allahyari, S. Vagnozzi et al., JCAP 09, 026 (2020)

  • [16]

    G. Z. Babar, A. Z. Babar, F. Atamurotov, Eur. Phys. J. C 80, 761 (2020)

  • [17]

    R. Kumar and S. G. Ghosh, Astrophys. J. 892, 78 (2020)

  • [18]

    M. Zhang and M. Guo, Eur. Phys. J. C 80, 790 (2020)

  • [19]

    P. C. Li, M. Guo, and B. Chen, Phys. Rev. D 101, 084041 (2020)

  • [20]

    M. Ghasemi-Nodehi, M. Azreg-Aïnou, K. Jusufi et al., Phys. Rev. D 102, 104032 (2020)

  • [21]

    F. Atamuratov, K. Jusufi, M. Jamil et al., Phys. Rev. D 104, 064053 (2021)

  • [22]

    M. Zhang and J. Jiang, Phys. Rev. D 103, 025005 (2021)

  • [23]

    T. Bronzwaer and H. Falcke, Astrophys. J. 920, 155 (2021)

  • [24]

    J. Peng, M. Guo, and X. H. Feng, Chin. Phys. C 45, 085103 (2021)

  • [25]

    A. Chowdhuri and A. Bhattacharyya, Phys. Rev. D 104, 064039 (2021)

  • [26]

    M. A. Anacleto, F. A. Brito, J. A. V. Campos et al., Ann. Phys. 434, 168662 (2021)

  • [27]

    J. Rayimbaev, B. Majeed, M. Jamil et al., Phys. Dark Universe 35, 100930 (2022)

  • [28]

    B. P. Singh, Ann. Phys. 441, 168892 (2022)

  • [29]

    R. Roy, S. Vagnozzi, and L. Visinelli, Phys. Rev. D 105, 083002 (2022)

  • [30]

    Y. Chen, R. Roy, S. Vagnozzi et al., Phys. Rev. D 106, 043021 (2022)

  • [31]

    R. C. Pantig, L. Mastrototaro, G. Lambiase et al., Eur. Phys. J. C 82, 1155 (2022)

  • [32]

    J. A. V. Campos, M. A. Anacleto, F. A. Brito et al., Sci. Rep. 12, 8516 (2022)

  • [33]

    S. L. Adler and K. S. Virbhadra, Gen. Relativ. Gravit. 54, 93 (2022)

  • [34]

    Y. Z. Du, H. F. Li, X. N Zhou et al., Chin. Phys. C 46, 122002 (2022)

  • [35]

    A. Das, A. Saha, and S. Gangopadhyay, Class. Quantum Grav. 40, 015008 (2023)

  • [36]

    W. D. Guo, S. W. Wei, and Y. X. Liu, Eur. Phys. J. C 83, 197 (2023)

  • [37]

    A. Uniyal, S. Kanzi, and I. Sakalli, Eur. Phys. J. C 83, 668 (2023)

  • [38]

    A. Övgün, R. C. Pantig, and A. Rincón, Eur. Phys. J. Plus 138, 192 (2023)

  • [39]

    N. U. Molla and U. Debnath, Ann. Phys. 453, 169304 (2023)

  • [40]

    G. J. Olmo, J. L. Rosa, D. Rubiera-Garcia et al., Class. Quantum Grav. 40, 174002 (2023)

  • [41]

    F. Atamuratov, M. Jamil, and K. Jusufi, Chin. Phys. C 47, 035106 (2023)

  • [42]

    B. Hamil, B. C. Lütfüoğlu, and L. Dahbi, Mod. Phys. Lett. A 39, 2250161 (2024)

  • [43]

    D. P. Theodosopoulos, T. Karakasis, G. Koutsoumbas et al., Eur. Phys. J. C 84, 592 (2024)

  • [44]

    B. Hamil and B. C. Lütfüoğlu, Chin. Phys. C 48, 055102 (2024)

  • [45]

    H. Hoshimov, O. Yunusov, F. Atamurotov et al., Phys. Dark Universe 43, 101392 (2024)

  • [46]

    B. P. Singh, Ann. Phys. 470, 169803 (2024)

  • [47]

    H. L. Li, M. Zhang, and Y. M. Huang, Eur. Phys. J. C 84, 860 (2024)

  • [48]

    J. A. V. Campos, M. A. Anacleto, F. A. Brito et al., Gen. Rel. Grav. 56, 74 (2024)

  • [49]

    R. A. Konoplya and O. S. Stashko, arXiv: grqc/2408.02578

  • [50]

    R. A. Konoplya, Phys. Lett. B 795, 1 (2019)

  • [51]

    R. C. Pantig and E. T. Rodulfo, Chin. J. Phys. 66, 691 (2020)

  • [52]

    K. Saurabh and K. Jusufi, Eur. Phys. J. C 81, 490 (2021)

  • [53]

    V. M. C. B. Sérgio, H. C. D. Lima Junior, and L. C. B. Crispino, Phys. Rev. D 107, 064040 (2023)

  • [54]

    M. Malligawad, S. K. Narasimhamurthy, and Z. Nekouee, Phys. Lett. B 856, 138963 (2024)

  • [55]

    M. Rizwan and K. Jusufi, Eur. Phys. J. C 83, 944 (2024)

  • [56]

    S. R. Wu, B. Q. Wang, Z. W. Long et al., Phys. Dark Universe 44, 101455 (2024)

  • [57]

    P. S. Letelier, Phys. Rev. D 20, 1294 (1979)

  • [58]

    J. M. Toledo and V. B. Bezerra, Int. J. Mod. Phys. D 28, 1950023 (2019)

  • [59]

    M. M. D. E. Costa, J. M. Toledo, and V. B. Bezerra, Int. J. Mod. Phys. D 28, 1950074 (2019)

  • [60]

    V. H. Cárdenas, M. Fathi, M. Olivares et al., Eur. Phys. J. C 81, 866 (2021)

  • [61]

    M. Chabab and S. Iraoui, Gen. Relativ. Gravit. 52, 75 (2020)

  • [62]

    G. Mustafa and I. Hussain, Eur. Phys. J. C 81, 419 (2021)

  • [63]

    A. He, J. Tao, Y. Xue et al., Chin. Phys. C 46, 065102 (2022)

  • [64]

    G. Mustafa, F. Atamurotov, I. Hussain et al., Chin. Phys. C 46, 125107 (2022)

  • [65]

    F. Atamurotov, I. Hussain, G. Mustafa et al., Eur. Phys. J. C 82, 831 (2022)

  • [66]

    M. E. Rodrigues and H. A. Vieira, Phys. Rev. D 106, 084015 (2022)

  • [67]

    M. Zahid, J. Rayimbaev, F. Sarikulov et al., Eur. Phys. J. C 83, 855 (2023)

  • [68]

    Y. Liu and X. Zhang, Chin. Phys. C 47, 125103 (2023)

  • [69]

    S. Rani, A. Jawad, H. Raza et al., Eur. Phys. J. C 84, 904 (2024)

  • [70]

    Y. Yang, D. Liu, A. Övgün et al., Phys. Rev. D 109, 024002 (2024)

  • [71]

    H. K. Sudhanshu, D. V. Singh, S. Upadhyay et al., Phys. Dark Universe 46, 101648 (2024)

  • [72]

    A. Al-Badawi, S. Shaymatov, S. K. Jha et al., Eur. Phys. J. C 84, 722 (2024)

  • [73]

    S. Chaudhary, M. D. Sultan, A. Malik et al., Nucl. Phys. B 1006, 116635 (2024)

  • [74]

    V. V. Kiselev, arXiv: grqc/0303031

  • [75]

    C. K. Qiao and M. Zhou, J. Cosmol. Astropart. Phys. 12, 005 (2023)

  • [76]

    Z. Xu, X. Hou, and J. Wang, Class. Quantum Grav. 35, 115003 (2018)

  • [77]

    X. Hou, Z. Xu, and J. Wang, J. Cosmol. Astropart. Phys. 12, 040 (2018)

  • [78]

    M. Rizwan, M. Jamil, and K. Jusufi, Phys. Rev. D 99, 024050 (2019)

  • [79]

    J. Rayimbaev, S. Shaymatov, and M. Jamil, Eur. Phys. J. C 81, 699 (2021)

  • [80]

    B. Hamil and B. C. Lütfüoğlu, Ann. Phys. 472, 169861 (2025)

  • [81]

    Z. Hu, X. Hou, J. Wang et al., Adv. High Energy Phys. 2019, 2434390 (2019)

  • [82]

    H. X. Zhang, Y. Chen, T. C. Ma et al., Chin. Phys. C 45, 055103 (2021)

  • [83]

    S. J. Ma, R. B. Wang, J. B. Deng et al., Eur. Phys. J. C 84, 595 (2024)

  • [84]

    B. Hamil and B. C. Lütfüoğlu, arXiv: grqc/2406.02109

  • [85]

    A. Das, A. Saha, and S. Gangopadhyay, Class. Quant. Grav. 38, 065015 (2021)

  • [86]

    A. Das, A. Saha, and S. Gangopadhyay, Class. Quantum Grav. 39, 075005 (2022)

  • [87]

    A. Das, A. R. Chowdhury, and S. Gangopadhyay, Class. Quantum Grav. 41, 015018 (2024)

  • [88]

    S. Shaymatov, B. Ahmedov, and M. Jamil, Eur. Phys. J. C 81, 588 (2021)

  • [89]

    L. Li, Z. Y. Fu, and H. L. Li, Gen. Relativ. Grav. 54, 43 (2022)

  • [90]

    S. H. Hendi, A. Nemati, K. Lin et al., Eur. Phys. J. C 80, 296 (2020)

  • [91]

    A. Kumar, A. Sood, J. K. Singh et al., Phys. Dark Universe 40, 101220 (2023)

  • [92]

    A. Sood, Md. S. Ali, J. K. Singh et al., Chin. Phys. C 48, 065109 (2024)

  • [93]

    F. Atamurotov, A. Abdujabbarov, and W. B. Han, Phys. Rev. D 104, 084015 (2021)

  • [94]

    M. Heydari-Fard, S. G. Honarvar, and M. Heydari-Fard, MNRAS 521, 708 (2023)

  • [95]

    S. Haroon, M. Jamil, K. Jusufi et al., Phys. Rev. D 99, 044015 (2019)

  • [96]

    T. C. Ma, H. X. Zhang, P. Z. He et al., Mod. Phys. Lett. A 36, 2150112 (2021)

  • [97]

    F. Atamurotov, U. Papnoi, and K. Jusufi, Class. Quantum Grav. 39, 025014 (2022)

  • [98]

    H. Chen, S. H. Dong, S. Hassanabadi et al., Chin. Phys. C 48, 085105 (2024)

  • [99]

    M. Sharif and S. Shaukat, Ann. Phys. 436, 168673 (2022)

  • [100]

    H. Abbusattar, Phys. Dark Universe 40, 101228 (2023)

  • [101]

    R. Ndongmo, S. Mahamat, C. B. Tabi et al., Phys. Dark Universe 42, 101299 (2023)

  • [102]

    G. Rakhimova, F. Atamurotov, F. Javed et al., Nucl. Phys. B 996, 116363 (2023)

  • [103]

    Y. Feng, A. Ashraf, S. Mumtaz et al., J. High Energy Astrop. 43, 158 (2024)

  • [104]

    M. H. Li and K. C. Yang, Phys. Rev. D 86, 123015 (2012)

  • [105]

    J. B. Hartle, Gravity: An Introduction to Einstein’s General Relativity, (London, Pearson Education, 2003), p.169

  • [106]

    S. Vagnozzi, R. Roy, Y. D. Tsai et al., Class. Quantum Grav. 40, 165007 (2023)

  • [107]

    E. Berti, V. Cardoso, and A. O. Starinets, Class. Quantum Grav. 26, 163001 (2009)

  • [108]

    B. F. Schutz and C. M. Will, Astrophys. J. Lett. 291, L33 (1985)

  • [109]

    S. Iyer and C. M. Will, Phys. Rev. D 35, 3621 (1987)

  • [110]

    R. A. Konoplya, A. Zhidenko, and A. F. Zinhailo, Class. Quantum Grav. 36, 155002 (2019)

  • [111]

    R. A. Konoplya, Phys. Rev. D 68, 024018 (2003)

  • [112]

    R. A. Konoplya, Phys. Rev. D 66, 044009 (2002)

  • [113]

    E. W. Leaver, Proc. R. Soc. Lond. A 402, 285 (1985)

  • [114]

    V. Ferrari and B. Mashhoon, Phys. Rev. D 30, 295 (1984)

  • [115]

    H. T. Cho, A. S. Cornell, J. Doukas et al., Class. Quantum Grav. 27, 155004 (2010)

  • [116]

    C. Gundlach, R. Price, and J. Pullin, Phys. Rev. D 49, 883 (1994)

  • [117]

    V. Cardoso, A. S. Miranda, E. Berti et al., Phys. Rev. D 79, 064016 (2009)

  • [118]

    I. Zh. Stefanov, S. S. Yazadjiev, and G. G. Gyulchev, Phys. Rev. Lett. 104, 251103 (2010)

  • [119]

    K. Jusufi, Phys. Rev. D 101, 084055 (2020)